四元数如何表示坐标

四元数是一种用于表示三维空间中旋转的数学工具，它由一个实部和三个虚部组成，通常表示为 ( q = a + bi + cj + dk )，其中 ( a, b, c, d ) 是实数，( i, j, k ) 是虚部，且满足 ( i2 = j2 = k2 = ijk = -1 )。

在三维空间中，我们可以将四元数用于表示坐标，尤其是在需要表示旋转的情况下。以下是如何将四元数与坐标系统关联的几种方式：

1. 旋转表示：

当四元数的虚部为零时，即 ( q = a )，它表示一个纯旋转，其中 ( a ) 是一个单位四元数，表示三维空间中的一个旋转轴和旋转角度。

当四元数的实部为零时，即 ( q = bi + cj + dk )，它表示一个纯平移，其中 ( (b, c, d) ) 是三维空间中的一个向量。

2. 坐标变换：

四元数可以用来表示坐标变换，包括旋转和平移。例如，假设我们有一个点 ( P = (x, y, z) )，我们可以通过四元数 ( q = a + bi + cj + dk ) 来变换这个点。

如果 ( q ) 是一个旋转四元数，那么点 ( P ) 在 ( q ) 作用下变换为 ( P' ) 的过程可以表示为：( P' = qPq{-1