如何求函数的最小值

求函数的最小值通常涉及以下几个步骤：

1. 求导数：对函数进行求导，得到其一阶导数。一阶导数表示函数的瞬时变化率。

2. 求导数的零点：令一阶导数等于零，解这个方程，得到可能的极值点。这些点可能是函数的局部最大值或最小值。

3. 求二阶导数：对一阶导数再次求导，得到二阶导数。二阶导数可以用来判断极值点的性质。

4. 判断极值点的性质：

如果二阶导数大于零，则该点为局部最小值。

如果二阶导数小于零，则该点为局部最大值。

如果二阶导数等于零，则该点可能是鞍点，需要进一步分析。

5. 比较极值：比较所有局部最小值，找出全局最小值。

下面是一个具体的例子：

假设我们要找函数 ( f(x) = x3 3x2 + 4 ) 的最小值。

1. 求导数：( f'(x) = 3x2 6x )。

2. 求导数的零点：令 ( f'(x) = 0 )，解得 ( x = 0 ) 和 ( x = 2 )。

3. 求二阶导数：( f''(x) = 6x 6 )。

4. 判断极值点的性质：

当 ( x = 0 ) 时，( f''(0) = -6 )，小于零，因此 ( x = 0 ) 是局部最大值。

当 ( x = 2 ) 时，( f''(2) = 6 )，大于零，因此 ( x = 2 ) 是局部最小值。

5. 比较极值：由于这是一个三次函数，且 ( f(x) ) 在 ( x = 2 ) 处取得局部最小值，且没有其他局部最小值，因此 ( x = 2 ) 处的函数值 ( f(2) = 4 12 + 4 = -4 ) 是全局最小值。

所以，函数 ( f(x) = x3 3x2 + 4 ) 的最小值是 -4，在 ( x = 2 ) 处取得。