做非退化线性变换时向量为什么排成行

为什么二次型经过非退化线性变换还是二次型

1、二次型经过非退化线性变换还是二次型的原因是：二次型的矩阵都是对称的，经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。经过线性替换合并之后的矩阵任然是对称的，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。

2、非退化线性替换和合同变换结果相同。二次型经过非退化线性替换后得新二次型，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。如果两个对称矩阵是合同的，则以它们为矩阵的二次型可经过非退化线性替换互变。合同变换法的技术要求一般，仅仅需要矩阵的初等行列运算。

3、二次型中最简单的形式是只包含平方项的二次型。任意二次型都可以经过非退化的线性替换转换成平方和的形式，称为标准型。在复数域和实数域上，任意对称矩阵都合同于对角矩阵。化二次型为标准型的过程称为法，以某个元素为讨论起点。

4、非退化实线性变换，即通过一个可逆矩阵 P，可以保持二次型的正定性。如果原二次型 Q（x） 是正定的，经过这样的变换后，得到的新形式 P^T A P 依然保持正定性。证明过程 假设原二次型 Q（x） 的矩阵表示为 A，经过非退化变换 P 后，得到 B = P^T AP。

非退化线性变换是?

非退化矩阵就是行列式不等于零。若n阶矩阵A的行列式|A|≠0，n阶方阵A是非退化的充要条件为A是可逆矩阵。一个n×n矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于n。设A，B都是数域F上的n×n矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A，B中至少有一个是退化的。

性代数中，非退化线性变换指的是具有逆变换的线性变换。同一线性空间中，存在多个不同的非退化线性变换。当我们谈论canonical form时，指的是线性变换或矩阵的标准或首选表示。常见的规范型包括约当Jordan canonical form、diagonal form。然而，对于一个特定的线性变换，其规范型可能并非唯一。

可逆线性变换亦称非退化线性变换，或满秩线性变换，是一种特殊的线性变换，设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换，若存在V的变换τ，使στ＝τσ＝I，其中I为变换，则σ称为可逆线性变换，τ称为σ的逆变换，V上的可逆线性变换σ的逆变换仍为V的线性变换，且是惟一的，记为σ。

非退化线性变换，就是指变换前后，目标矩阵的秩不变。因此，变换矩阵本身也得是一个可逆矩阵。