高数两边求导怎么求

一、基本求导公式的运用

• 常见函数求导公式：在高数中，一些基本函数的求导公式是基础，例如$\sin x = \cos x$、$\cos x = -\sin x$、$\tan x=\sec^{2}x$等。在两边求导时，如果等式中涉及这些基本函数，就可以直接按照公式求导。例如对于等式$y = \sin x + \cos x$两边求导，左边$y'=(\sin x + \cos x)'=\cos x-\sin x$，右边$(\sin x + \cos x)'=\cos x-\sin x$，因为左右两边函数完全相等，所以导函数也相等。

二、复合函数求导法则

• 乘法形式复合函数：对于两个函数相乘的形式，如$h(x)=g(x)\times f(x)$，则$h'(x)=g'(x)f(x)+g(x)f'(x)$。如果遇到$g(x)$或$f(x)$是复合函数时，还要运用内外函数的复合法则。例如令$f(x)=2x$，$g(x)=\sqrt{R - x}$，这里$g(x)$是复合函数，需要先把它看作内外函数的组合，再按照复合函数求导法则求导。

三、对数求导法

• 适用情况：当函数$f(x)$是乘积形式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式时，求导比较适用对数求导法。
• 求导步骤：可以对等式两边同时求对数，这样可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算，可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，从而使求导运算计算量大为减少。例如对于$y = x^{x}$这种幂指函数，两边取对数得到$\ln y=x\ln x$，然后两边求导，左边为$\frac{y'}{y}$，右边为$1 + \ln x$，进而求出$y'$。

四、两边求导的条件

• 等式需要是恒成立的式子，例如对于方程$\cos x+2\sin x=\sqrt{5}$，它不是恒成立的方程，其解是离散的，这种情况下不能直接两边求导。只有对于像$\arcsin x+\arccos x = \frac{\pi}{2}$（任取$-1\leq x\leq1$）这种恒成立的式子才可以两边求导，并且得到的是$\arcsin x$与$\arccos x$导数的关系。