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为什么，高中数学均值不等式必须要和或积是定值才成立

为什么，高中数学均值不等式必须要和或积是定值才成立

均值不等式的基本形式与条件 均值不等式对于两个非负实数aa...

  1. 均值不等式的基本形式与条件
    • 均值不等式对于两个非负实数aa、bb，有a+b2≥ab\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}（当且仅当a=ba = b时等号成立）。这里的“一正二定三相等”是运用均值不等式的关键条件。其中“二定”就是要求和或者积是定值。
    • 从函数的角度理解，若设a+b=Sa + b = S（SS为定值），则b=S?ab=S - a，那么y=ab=a(S?a)=?a2+Say = ab=a(S - a)=-a^{2}+Sa，这是一个二次函数，根据二次函数的性质，当a=S2a=\frac{S}{2}时，yy有最大值S24\frac{S^{2}}{4}。如果SS不是定值，就无法确定这个最大值。引用来源：[3]
  2. 反例说明缺乏定值条件的不成立情况
    • 假设没有和或积为定值这个条件。例如，设a=xa = x，b=1xb=\frac{1}{x}，如果直接用均值不等式a+b2≥ab\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}，得到x+1x2≥1\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\geq1。但当xx不断变化时，这个式子并不能保证总是成立或者能求出最值。因为x+1xx+\frac{1}{x}不是定值，它的值随着xx的变化而变化，所以无法确定它的最小值就是22（当x=1x = 1时x+1x=2x+\frac{1}{x}=2）。
  3. 定值条件与求最值的关系
    • 当和为定值时，积有最大值。例如，已知a+b=10a + b = 10（a>0,b>0a\gt0,b\gt0），根据均值不等式a+b2≥ab\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}，即5≥ab5\geq\sqrt{ab}，所以ab≤25ab\leq25，当且仅当a=b=5a = b = 5时等号成立，这里就是因为和a+b=10a + b = 10是定值，才能确定积abab的最大值。同样，当积为定值时，和有最小值。
    • 综上所述，高中数学均值不等式必须要和或积是定值才成立，这是保证不等式能正确运用求出最值以及保证不等式成立的必要条件。

本文由夕逆IT于2025-01-24发表在夕逆IT，如有疑问，请联系我们。
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