怎样求四阶矩阵的逆矩阵

求四阶矩阵逆矩阵的方法

• 初等行变换法
  • 首先将四阶矩阵 $A$ 与四阶单位矩阵 $I$ 拼成一个 $4\times8$ 阶的增广矩阵 $[A|I]$。然后对这个增广矩阵进行初等行变换，目标是将左边的矩阵 $A$ 变换为单位矩阵 $I$，此时右边得到的矩阵就是 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$。例如，通过行交换、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数等操作来实现。这种方法的依据是，对矩阵进行初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，一系列的初等行变换相当于左乘一系列的初等矩阵，而这些初等矩阵的乘积就是原矩阵的逆矩阵$6$。
• 伴随矩阵法
  • 先求四阶矩阵 $A$ 的行列式 $|A|$，若 $|A|\neq0$，则矩阵 $A$ 可逆。接着求出 $A$ 的伴随矩阵 $adj(A)$。对于四阶矩阵，伴随矩阵的元素是原矩阵对应元素的代数余子式组成的矩阵的转置。最后根据公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)$ 计算出逆矩阵。这里利用了矩阵可逆的定义 $AB = BA=E$，通过行列式和代数余子式的关系推导出这个公式$8$。
• 待定系数法
  • 设四阶矩阵 $A$ 的逆矩阵为 $B$（$B$ 的元素设为未知量），根据 $AB = E$ 列出方程组，然后解方程组求出 $B$ 的各个元素。这是基于逆矩阵的定义，如果 $A$ 可逆，那么存在矩阵 $B$ 使得 $AB = E$，通过解方程组来确定 $B$ 的元素$8$。