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基本不等式为什么要有定值

基本不等式为什么要有定值

从最值的确定性角度 基本不等式为a+b≥2ab...

  1. 从最值的确定性角度
    • 基本不等式为a+b2aba + b\geq2\sqrt{ab}a,b>0a,b>0),当abab为定值时,才能确定a+ba + b的最小值。例如,若ab=kab = kkk为定值),根据基本不等式a+b2ka + b\geq2\sqrt{k},此时2k2\sqrt{k}就是a+ba + b的最小值。如果abab不是定值,随着aabb的变化,abab的值在变,就无法确定a+ba + b的最小值。就像在函数f(x)=(9?2x)xf(x)=(9 - 2x)x,如果直接用基本不等式而右边不是定值,取等号的位置并不是取最值的位置11
  2. 从函数图象角度
    • abab为定值时,a+ba + b的图象与这个定值有明确的关系。以a+ba + babab为例,若ab=cab = ccc为定值),a+ba + b有最小值,从图象上看,ab=cab = c的图象是平行于坐标轴的直线(比如y=cy = c),而a+ba + b的图象在这条直线所确定的范围内有最小值。如果abab不是定值,图象是不断变化的曲线,无法确定a+ba + b的最小值11
  3. 从多步使用不等式角度
    • 即使是多步使用基本不等式求最值,最后一步也需要得到定值。因为只有最后是定值,才能确定整个式子的最值情况。如果最后不是定值,前面的不等式关系虽然成立,但不能确定最终的最值11
  4. 从与取等条件的配合角度
    • 基本不等式要求“一正二定三相等”,取等条件也很关键。只有在abab为定值的情况下,当满足取等条件(如a=ba=b时取等号),才能保证取到的是最值。如果abab不是定值,即使取等条件满足,也不能确定就是最值11

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