数学判断绝对收敛和条件收敛

一、定义

• 绝对收敛：对于一个级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$，如果级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert u_{n}\vert$收敛，那么就称级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$绝对收敛。例如，级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$，$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\vert=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$是收敛的（根据$p -$级数，当$p = 2>1$时收敛），所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$绝对收敛。
• 条件收敛：如果级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，但是$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert u_{n}\vert$发散，那么就称级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$条件收敛。例如，级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$，根据莱布尼茨判别法可知该级数收敛，但是$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert\frac{(-1)^{n}}{n}\vert=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$是发散的（调和级数发散），所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$条件收敛。

二、判断方法

1. 比较判别法
   • 绝对收敛判断：如果能找到一个收敛的正项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}v_{n}$，使得对于足够大的$n$，有$\vert u_{n}\vert\leq v_{n}$，那么$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$绝对收敛。
   • 条件收敛判断：当原级数收敛，而通过比较判别法发现$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert u_{n}\vert$不满足收敛条件时，可能是条件收敛。
2. 比值判别法
   • 对于级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$，计算$\lim_{n\rightarrow\infty}\vert\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}\vert = L$。
   • 绝对收敛判断：如果$L<1$，那么$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$绝对收敛。
   • 条件收敛判断：如果原级数收敛，但$L = 1$时，比值判别法失效，需要进一步判断是否为条件收敛。
3. 根值判别法
   • 计算$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\vert u_{n}\vert}=L$。
   • 绝对收敛判断：如果$L<1$，则$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$绝对收敛。
   • 条件收敛判断：若原级数收敛但$L = 1$时，根值判别法失效，要进一步探讨是否为条件收敛。