三点式怎么推导

一、平面三点式方程的推导

1. 设平面方程的一般形式
   • 设过三点$M_i(x_i,y_i,z_i)(i = 1,2,3)$的平面方程为$Ax+By + Cz+D = 0$（$A$、$B$、$C$不同时为$0$）。
   • 因为点$M_1(x_1,y_1,z_1)$，$M_2(x_2,y_2,z_2)$，$M_3(x_3,y_3,z_3)$在该平面上，所以将这三点分别代入平面方程可得：
     • $Ax_1+By_1 + Cz_1+D = 0$ ①；
     • $Ax_2+By_2 + Cz_2+D = 0$ ②；
     • $Ax_3+By_3 + Cz_3+D = 0$ ③。
2. 通过方程求解系数关系
   • 由① - ②可得：$A(x_1 - x_2)+B(y_1 - y_2)+C(z_1 - z_2)=0$；
   • 由① - ③可得：$A(x_1 - x_3)+B(y_1 - y_3)+C(z_1 - z_3)=0$。
   • 把$A$、$B$、$C$看作未知数，上面得到的两个方程可以看作是关于$A$、$B$、$C$的线性方程组。
   • 通过求解这个线性方程组（例如利用行列式等方法），可以得到$A$、$B$、$C$之间的比例关系，再结合其中一个点代入平面方程求出$D$（或者用其他合适的方法确定$A$、$B$、$C$、$D$的值），从而得到平面的三点式方程。不过具体的求解过程会涉及到比较复杂的行列式运算等数学知识。

二、圆的三点式方程的推导

1. 构建行列式形式的函数
   • 设$f(x,y)=\det\begin{bmatrix}x^2 + y^2&x&y&1\\x_1^2 + y_1^2&x_1&y_1&1\\x_2^2 + y_2^2&x_2&y_2&1\\x_3^2 + y_3^2&x_3&y_3&1\end{bmatrix}$，其中$(x_i,y_i)$，$i = 1,2,3$是已知的不共线的三点坐标。
2. 验证三点在圆上
   • 代入计算$f(x_1,y_1)$，发现前两行相等，从而行列式值为零，即第一个点在这个圆上。
   • 类似地，其他两点也在圆上。
   • 由于不共线的三点唯一确定一个圆，从而$f(x,y)=0$就是它们确定的圆的方程。