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四阶矩阵的特征方程怎么算

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智慧问答
2025-01-26 07:56:20
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特征值的定义与特征方程对于一个四阶矩阵AA...

特征值的定义与特征方程
- 对于一个四阶矩阵 $A$ ，特征值 $\lambda$ 满足方程 $\vert A - \lambda I\vert=0$ ，其中 $I$ 是四阶单位矩阵。这就是四阶矩阵的特征方程。
- 例如，对于一个四阶矩阵 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{pmatrix}$ ，其特征方程为 $\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}-\lambda&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}-\lambda&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}-\lambda\end{vmatrix}=0$ 。
- 展开这个行列式会得到一个关于 $\lambda$ 的四次多项式方程 $p(\lambda)=\lambda^{4}+c_{3}\lambda^{3}+c_{2}\lambda^{2}+c_{1}\lambda + c_{0}=0$ ，其中 $c_{i}$ 是由矩阵 $A$ 的元素计算得到的系数。
求解特征方程的方法
- 一般方法
  - 对于得到的四次多项式方程，可以尝试使用因式分解的方法来求解。如果能分解成 $(\lambda - \lambda_{1})(\lambda - \lambda_{2})(\lambda - \lambda_{3})(\lambda - \lambda_{4}) = 0$ 的形式，那么 $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4}$ 就是矩阵的特征值。
  - 例如，如果 $p(\lambda)=(\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda - 3)(\lambda - 4)$ ，那么特征值就是 $1,2,3,4$ 。
- 特殊矩阵的简便方法
  - 如果四阶矩阵具有特殊的结构，可能有更简便的方法。例如，如果矩阵是上三角矩阵或下三角矩阵，那么特征值就是矩阵的对角元素。
  - 对于四阶矩阵所有元素都是 $1$ 的情况，可以先求其特征多项式。设该矩阵为 $A$ ， $A$ 的秩 $r(A) = 1$ ，根据矩阵特征值的性质， $\lambda = 0$ 是其特征值，且重数为 $n - r(A)=4 - 1 = 3$ 。再根据矩阵的迹 $tr(A)$ （主对角线元素之和）等于特征值之和，该矩阵的 $tr(A)=4$ ，所以另一个特征值为 $4$ 。

本文由夕逆IT于2025-01-26发表在夕逆IT，如有疑问，请联系我们。
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