怎么求这个函数的对称中心点

一、利用定义求解

1. 中心对称点定义
   • 若函数$f(x)$在点$A(x_0,y_0)$处具有中心对称性，则$f(x_0 + x_1)+f(x_0 - x_1)=2y_0$，其中$x_1$为任意实数。通过计算$f(x_0 + x_1)+f(x_0 - x_1)$的值，并与$2y_0$比较，可判断函数是否在点$A(x_0,y_0)$处具有中心对称性。例如，对于函数$f(x)=x^2 - 2x + 1$判断在点$A(1,0)$处的中心对称性，计算$f(1 + x_1)+f(1 - x_1)=(1 + x_1)^2-2(1 + x_1)+1+(1 - x_1)^2-2(1 - x_1)+1 = 2$，而$2y_0 = 2\times0 = 0$，由于$f(1 + x_1)+f(1 - x_1)\neq2y_0$，所以在该点不具有中心对称性。
2. 中心点定义
   • 若函数$f(x)$在点$A(x_0,y_0)$处具有中心点，则$f(x_0 + x_1)-f(x_0 - x_1)=2y_0$，其中$x_1$为任意实数。同样通过计算$f(x_0 + x_1)-f(x_0 - x_1)$的值并与$2y_0$比较来判断。对于上述函数$f(x)=x^2 - 2x + 1$在点$A(1,0)$处，计算$f(1 + x_1)-f(1 - x_1)=(1 + x_1)^2-2(1 + x_1)+1-(1 - x_1)^2 + 2(1 - x_1)-1 = 0$，而$2y_0 = 2\times0 = 0$，所以在该点具有中心点。

二、特殊形式函数

1. 奇函数与常数组合形式
   • 如果一个函数能拆分成“奇函数+常数$m$”的形式，则函数对称中心为$(0,m)$。
2. 利用函数图象关系
   • 设函数的对称中心为$(a,b)$，那么如果点$(x,y)$在函数的图象上，则点$(2a - x,2b - y)$一定也在函数的图象上。将点$(2a - x,2b - y)$代入到函数的解析式中，化简为$y = f(x)$的形式，然后与原函数表达式比较系数，从而得出$a$，$b$的值，求出对称中心。

三、根据函数性质

1. 轴对称性与对称中心关系
   • 先确定函数的轴对称性。若函数关于$x$轴对称，满足$f(x)=f(-x)$，对称中心位于$x = 0$；若关于$y$轴对称，满足$f(x)=f(-x)$，则对称中心为原点。对于非坐标轴对称的情况，可通过计算定义域内函数值均值，找到使得函数值在对称中心左右对称的位置。最后通过绘制函数图形，标记计算出的对称中心及对称点，验证对称性。