当前位置:首页 > 智慧问答 > 正文

等比数列公式有哪些

等比数列公式有哪些

等比数列公式有哪些 等比数列的基本概念 等比数列是一种特殊的数列,它的特点是任意相邻两项的比值都是相同的,这个比值被称为公比(通常用字母 q...

等比数列公式有哪些

等比数列的基本概念

等比数列是一种特殊的数列,它的特点是任意相邻两项的比值都是相同的,这个比值被称为公比(通常用字母 qq 表示)。例如,数列 2,4,8,16,2, 4, 8, 16, \ldots 就是一个等比数列,其公比为 22

等比数列的定义

一个数列,如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数 qq(( q
eq 0 )),这个数列叫等比数列。

等比数列的通项公式

等比数列的第 nnana_n 可以用首项 a1a_1 和公比 qq 来表示: an=a1×q(n?1)a_n = a_1 \times q^{(n-1)}

等比数列的特殊性质

  • 如果 m+n=p+qm + n = p + q,则 am×an=ap×aqa_m \times a_n = a_p \times a_q
  • 在等比数列中,依次每 kk 项之和仍成等比数列。
  • m+n=2qm + n = 2q,则 am×an=(aq)2a_m \times a_n = (a_q)^2
  • GGaabb 的等比中项,则 G2=abG^2 = ab(( G
    eq 0 ))。

等比数列的求和公式

等比数列的求和公式用于计算数列的前 nn 项和 SnS_n

基本求和公式

  • q=1q = 1 时,数列的所有项都相等,因此前 nn 项和 Sn=n×a1S_n = n \times a_1
  • 当 ( q
    eq 1 ) 时,等比数列的前 nn 项和公式为: Sn=a11?qn1?qS_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} 或者等价地: Sn=a1qn?1q?1S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}

公式推导

求和公式的推导可以通过以下步骤完成:

  1. 设等比数列的前 nn 项和为 Sn=a1+a2+a3++anS_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n
  2. 将每一项乘以公比 qq,得到 qSn=a1q+a2q+a3q++anqqS_n = a_1q + a_2q + a_3q + \ldots + a_nq
  3. 然后用 qSnqS_n 减去 SnS_n,得到: qSn?Sn=a1q+a2q++anq?(a1+a2++an)qS_n - S_n = a_1q + a_2q + \ldots + a_nq - (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) (q?1)Sn=a1(qn?1)(q - 1)S_n = a_1(q^n - 1)
  4. 最后解得: Sn=a1(qn?1)q?1S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}

等比数列的应用实例

等比数列不仅在数学题目中广泛出现,在实际生活中也有许多应用。例如,假设一个商场每年的销售额增长率为 10%10\%,则可以构建一个等比数列来预测未来几年的销售额。

实际应用案例

某商场第一年销售计算机 50005000 台,如果平均每年的销售量比上一年增加 10%10\%,那么从第一年起,约几年可使总销售量达到 3000030000 台?

设第 nn 年的销售量为 ana_n,则有: an=5000×(1+0.1)n?1a_n = 5000 \times (1 + 0.1)^{n-1}

我们需要找到最小的 nn,使得 Sn30000S_n \geq 30000Sn=5000(1.1n?1)0.130000S_n = \frac{5000(1.1^n - 1)}{0.1} \geq 30000 50000(1.1n?1)30000050000(1.1^n - 1) \geq 300000 1.1n?161.1^n - 1 \geq 6 1.1n71.1^n \geq 7

通过计算可知,n5.68n \approx 5.68,因此至少需要 66 年才能使总销售量达到 3000030000 台。

通过以上详细的解释和实例,相信你对等比数列的公式及其应用有了更深入的理解。

最新文章