等比数列公式有哪些
等比数列的基本概念
等比数列是一种特殊的数列,它的特点是任意相邻两项的比值都是相同的,这个比值被称为公比(通常用字母 q 表示)。例如,数列 2,4,8,16,… 就是一个等比数列,其公比为 2。
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等比数列的定义
一个数列,如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数 q(( q
eq 0 )),这个数列叫等比数列。
等比数列的通项公式
等比数列的第 n 项 an? 可以用首项 a1? 和公比 q 来表示:
an?=a1?×q(n?1)
等比数列的特殊性质
- 如果 m+n=p+q,则 am?×an?=ap?×aq?。
- 在等比数列中,依次每 k 项之和仍成等比数列。
- 若 m+n=2q,则 am?×an?=(aq?)2。
- 若 G 是 a 和 b 的等比中项,则 G2=ab(( G
eq 0 ))。
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式用于计算数列的前 n 项和 Sn?。
基本求和公式
- 当 q=1 时,数列的所有项都相等,因此前 n 项和 Sn?=n×a1?。
- 当 ( q
eq 1 ) 时,等比数列的前 n 项和公式为:
Sn?=a1?1?q1?qn?
或者等价地:
Sn?=a1?q?1qn?1?
公式推导
求和公式的推导可以通过以下步骤完成:
- 设等比数列的前 n 项和为 Sn?=a1?+a2?+a3?+…+an?。
- 将每一项乘以公比 q,得到 qSn?=a1?q+a2?q+a3?q+…+an?q。
- 然后用 qSn? 减去 Sn?,得到:
qSn??Sn?=a1?q+a2?q+…+an?q?(a1?+a2?+…+an?)
(q?1)Sn?=a1?(qn?1)
- 最后解得:
Sn?=q?1a1?(qn?1)?
等比数列的应用实例
等比数列不仅在数学题目中广泛出现,在实际生活中也有许多应用。例如,假设一个商场每年的销售额增长率为 10%,则可以构建一个等比数列来预测未来几年的销售额。
实际应用案例
某商场第一年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年可使总销售量达到 30000 台?
设第 n 年的销售量为 an?,则有:
an?=5000×(1+0.1)n?1
我们需要找到最小的 n,使得 Sn?≥30000:
Sn?=0.15000(1.1n?1)?≥30000
50000(1.1n?1)≥300000
1.1n?1≥6
1.1n≥7
通过计算可知,n≈5.68,因此至少需要 6 年才能使总销售量达到 30000 台。
通过以上详细的解释和实例,相信你对等比数列的公式及其应用有了更深入的理解。