齐次线性方程组怎么解

齐次线性方程组的解法

1. 利用系数矩阵判断解的情况
   • 首先根据齐次线性方程组写出系数矩阵$A$，并明确未知数个数$n$。然后对系数矩阵$A$进行初等行变换，将其化为阶梯矩阵，查看非零行的行数$r(A)$。若$r(A)=n$，则方程组只有零解；若$r(A)<n$，则方程组有非零解。
2. 求基础解系（当$r(A)<n$时）
   • 找出主变量和自由变量，明确基础解系向量个数$t = n - r(A)$。主变量是阶梯矩阵右侧紧挨阶梯线的元素对应的未知数（每行第一个系数不为$0$的未知数），自由变量个数等于$n - r(A)$。对自由变量正交赋值，再自底向上求出主变量的值，最终求出基础解系。
3. 得到通解
   • 若$X_1,X_2,\cdots,X_{n - r}$为基础解系，则齐次线性方程组$AX = 0$的通解为$X = k_1X_1 + k_2X_2+\cdots+ k_{n - r}X_{n - r}$，其中$k_1,k_2,\cdots,k_{n - r}$为任意常数。
4. 利用Python求解（以NumPy库为例）
   • 假设我们有一个系数矩阵$A$，可以使用linalg.null_space() 找到齐次方程组的基础解系$basis_solutions=np.linalg.null_space(A)$ 。由于基础解系可能包含零向量，需要处理这种情况，得到非平凡解$non_trivial_solutions = [sol for sol in basis_solutions if not np.all(sol == 0)]$，进而得到通解（这里的通解可能需要根据具体情况进一步处理和表示）。