为什么左右极限存在一定可导？

极限与可导的关系

首先，我们需要明确极限与可导之间的基本关系。极限的存在是函数在某一点可导的前提条件。具体来说，如果函数在某点的左右极限都存在且相等，那么该函数在该点可导。这是因为可导的定义涉及到函数在该点的瞬时变化率，而这个瞬时变化率需要通过极限来精确描述。

极限的定义

极限的存在意味着函数值在某一点附近无限趋近于一个确定的值。这个定义不仅适用于单侧极限（左极限或右极限），也适用于双侧极限（即同时考虑左右两侧的极限）。因此，当左右极限都存在时，我们可以认为函数在该点的行为是“平滑”的，从而允许我们计算其导数。

可导的定义

可导性是指函数在某一点处的瞬时变化率存在。这可以通过极限来定义：如果函数在某点的左右导数都存在且相等，那么该函数在该点可导。换句话说，可导意味着函数在该点的左右两侧都有确定的斜率，这反映了函数在该点的局部线性行为。

左右极限存在与可导的关系

当函数的左右极限都存在时，这意味着函数在该点的左右两侧都表现出相似的行为。这种情况下，我们可以期望函数在该点具有相同的斜率，从而使得导数存在。具体来说：

• 左右极限相等：如果函数在某点的左右极限相等，那么函数在该点的瞬时变化率（即导数）存在且为这个共同的极限值。
• 导数的存在性：根据导数的定义，如果函数在某点的左右导数都存在且相等，那么该函数在该点可导。这意味着函数在该点的行为是连续的，没有跳跃或中断。

结论

综上所述，左右极限存在一定可导的原因在于极限的存在保证了函数在该点的平滑性，从而允许我们计算其导数。具体来说，当函数的左右极限都存在且相等时，函数在该点的瞬时变化率（即导数）存在。因此，如果一个函数在某点的左右极限都存在，那么该函数在该点一定是可导的。