三阶矩阵怎么快速求逆

三阶矩阵快速求逆的方法

• 伴随矩阵法
  • 首先求三阶矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$。对于伴随矩阵$A^*$各元素：$A_{11}=(-1)^2\times(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) = a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}$；$A_{12}=(-1)^3\times(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})=-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31}$；$A_{13}=(-1)^4\times(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) = a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}$等元素（按照伴随矩阵元素的定义求出所有元素）。然后求矩阵$A$的行列式$\vert A\vert$。最后$A$的逆矩阵$A^{-1}=\frac{A^*}{\vert A\vert}$，这里要求$\vert A\vert\neq0$，因为矩阵可逆的充要条件是其行列式不等于$0$ 。
• 初等变换法
  • 构造一个增广矩阵$[A|I]$，其中$A$是要求逆的三阶矩阵，$I$是三阶单位矩阵。然后通过一系列的初等行变换将左边的$A$变为单位矩阵$I$，此时右边的矩阵就是$A$的逆矩阵。例如可以使用倍加变换、倍乘变换和交换变换等操作。
• 待定系数法
  • 设三阶矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\\x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{pmatrix}$。根据$AA^{-1}=I$（$I$为单位矩阵），得到九个方程组成的方程组，然后解这个方程组求出$x_{ij}(i = 1,2,3;j = 1,2,3)$的值，从而得到$A$的逆矩阵。不过这种方法计算量相对较大。