为什么后面又说左导数和右导数存在且相等才可

一、可导的定义

根据导数的定义，函数在某点可导意味着极限 $\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ 存在。当从左侧趋近于该点（$h \to 0^{-}$）时，这个极限就是左导数 $f'_{-}(x)$；当从右侧趋近于该点（$h \to 0^{+}$）时，这个极限就是右导数 $f'_{+}(x)$。只有当左导数和右导数都存在且相等时，才能说这个极限存在，也就是函数在该点可导，这是可导的充分必要条件 。

二、与连续的关系

1. 可导必连续
   • 若函数在某点可导，根据导数定义的推导过程可以证明该函数在这点必然连续。因为可导要求极限 $\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ 存在，这意味着函数在该点附近的变化是“平滑”的，从而保证了函数在该点的连续性。
2. 左、右导数与左、右连续
   • 左导数存在意味着函数在该点左连续，右导数存在意味着函数在该点右连续。如果左导数和右导数存在且相等，那么函数在该点就是连续的，并且是可导的。如果仅仅说左右极限存在且相等，这只是函数在该点连续的条件，而不是可导的条件，可导要求的是函数变化率的极限存在，也就是左导数和右导数存在且相等 。

三、导数存在的判断

1. 函数在某点的情况
   • 仅仅左右极限存在且相等不能证明函数在该点可导。例如，存在一些函数在某点左右极限相等（函数连续），但在该点的切线斜率不存在或者左右切线斜率不相等，那么函数在该点不可导。只有左导数和右导数存在且相等，才满足导数存在（可导）的条件，这是由导数的本质是函数的变化率所决定的 。