极限值如何求

一、求极限的方法

• 利用函数性质与运算法则
  • 直接代入法：若所需求得的函数极限是趋于一个实数，并且将极限值代入函数后函数仍有意义（要求函数在极限处连续），则可直接将极限代入计算，例如求函数在某点极限，若该点函数值存在，极限就是该函数值。
  • 极限的四则运算法则：当函数为若干个简单函数的相加、相减、相乘或相除（除数极限不为0）时，可以利用此法则将函数拆分，再分别计算函数极限，但使用时需保证极限存在。
• 特殊方法
  • 数学归纳法与不等式放缩法（针对数列）：用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，确定极限存在性；再通过递推关系取极限，解方程得到数列极限值。
  • 函数极限与数列极限关系法：若数列极限能看成某函数极限的特例，利用两者关系转化为求函数极限，之后可用洛必达法则求解（满足洛必达法则使用条件时）。
  • 幂级数函数法：若可以找到级数所对应的幂级数，求出幂级数的和函数，再根据极限形式代入相应变量求出函数值。
  • 定积分定义法：数列每一项都可提出一个因子，剩余项可用一个通项表示时，可以考虑用定积分定义求解数列极限。
  • 夹逼定理：数列每一项可提出一个因子，剩余项不能用一个通项表示，但其余项按递增或递减排列，可考虑此定理求解；对于函数极限，若满足夹逼准则的条件也可使用。
  • 取对数法：求n项数列的积的极限，一般先取对数化为项和的形式，再利用求解项和数列极限的方法计算。
  • 等价无穷小代换法：当两个函数满足一定极限条件时为等价无穷小，在求极限时可进行代换简化计算，如当x→0时，sinx～x等。
  • 利用两个重要极限：即$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$和$\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$，对所给函数或数列作适当变形，使之具有相应形式来求极限，有时可通过变量替换简化问题。
  • 洛必达法则：当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与g(x)都趋于零或趋于无穷小（为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式），可考虑使用该法则求极限，但它不能解决所有极限问题。
  • 泰勒公式法：在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，用这些导数值做系数构建多项式来近似函数在这一点邻域中的值，从而求得函数极限值。