如何断一个矩阵是正定，负定二次型

如何断矩阵A是正定矩阵?

要断矩阵A是否为正定矩阵，可以采取以下几种方法： 特征值定法：计算矩阵A的所有特征值。如果A是对称矩阵，并且它的所有特征值都是正数，则A是正定的。 主子式定法：计算矩阵A的各个阶的主子式。对于对称矩阵A，如果其各阶主子式的符号均为正，即子行列式均为正，则A是正定的。

如果A和B都是实对称正定阵，且AB=BA=B^TA^T=（AB）^T 这说明AB是对称阵 再利用AB的特征值都是正数（因为AB相似于对称正定阵A^{1/2}BA^{1/2}）得到AB对称正定。

A的特征值全为正数；A合同于阵；A的顺序主子式全为正。根据正定矩阵的定义及性质，别对称矩阵A的正定性有两种方法：（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。（2）计算A的各阶主子式。

如何断矩阵正定如下：求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的等两种方法。

如果A、B都是正定的，那么对于任意非零向量a，都有aAa0；aBa0；显然对于任意非零向量a，就有a（A+B）a0；所以A+B也是正定的！只要你搞清一个等价关系就行了，最好用反正法证一下。

矩阵正定的充分必要条件如下：这里的充分必要条件是：矩阵的特征值全为正。对于矩阵A来说，求出A的所有特征值，若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。所以如果需要矩阵正定，则特征值要为正才可。

如何断一个矩阵是正定,负定二次型

1、断一个矩阵是否为正定或负定的二次型，需依据具体情境选择合适的方法。对于纯数字矩阵，我推荐使用顺序主子式的断方法，相对简便。这里提供一个参考，设A为实对称矩阵，则下列条件等价： A是正定的。 A与矩阵相合，即存在可逆实矩阵T，使得TAT=En。 存在可逆实矩阵S，使得A=SS。

2、A是正定的。 A相合于矩阵，即存在可逆实矩阵T，使得TAT=En。 存在可逆实矩阵S，使得A=SS。 A的所有主子式都大于0。 A的特征值都大于0。对于负定的情况，只需将上述条件中的“大于0”改为“小于0”。具体而言： A是负定的。

3、断二次型的正定性：断二次型的正负：正定二次型的简单性质，这样断一个矩阵是正定，负定二次型的问题就解决了。

4、特征值定法：计算矩阵A的所有特征值。如果A是对称矩阵，并且它的所有特征值都是正数，则A是正定的。 主子式定法：计算矩阵A的各个阶的主子式。对于对称矩阵A，如果其各阶主子式的符号均为正，即子行列式均为正，则A是正定的。

5、断二次型正定的方法有两种。第一种方法是通过写出二次型的矩阵，利用对称矩阵的所有顺序主子式是否全部大于零来定。若所有主子式均大于零，则该二次型为正定。另一种方法是将二次型化为标准形，观察标准形中平方项的系数。若系数为正的数量等于n（n为变量的个数），则二次型为正定。

6、断一个矩阵是否为负定矩阵时，需要检查其主子式的正负情况。具体来说，奇数阶主子式应为负值，而偶数阶主子式则应为正值。如果发现任何一个偶数阶主子式呈现负值，则说明该矩阵不具备负定性，即其符号是不定的。让我们通过一个简单的例子来说明这一规则。