1到100相加等于多少

等差数列求和公式的应用

1到100的整数相加属于等差数列求和问题。等差数列求和公式为：
S? = n(a? + a?)/2
其中：

• n 是项数（1到100共有100项）；
• a? 是首项（即1）；
• a? 是末项（即100）。

代入公式计算：
S??? = 100×(1 + 100)/2 = 100×101/2 = 5050

经典配对法的验证

数学家高斯在童年时期曾用“首尾配对法”快速解决此问题：

1. 将数列首项与末项配对：1 + 100 = 101
2. 第二项与倒数第二项配对：2 + 99 = 101
3. 以此类推，每一对的和均为101

总共有 100/2 = 50对，因此总和为：
50×101 = 5050

数学归纳法的证明

为验证公式的普适性，可用数学归纳法：

1. 基础情况：当n=1时，S?=1，公式成立；
2. 归纳假设：假设当n=k时，S? = k(a? + a?)/2成立；
3. 递推步骤：当n=k+1时，
   S??? = S? + a??? = [k(a? + a?)/2] + (a? + kd)
   化简后仍符合公式形式，证明成立。

结论与扩展

1. 结果一致性：三种方法均得出 5050，验证了答案的正确性。
2. 应用范围：此方法适用于任何等差数列求和，例如1到n的和为n(n+1)/2。
3. 计算验证：可通过编程（如Python循环或公式直接计算）快速验证结果。