根号x等于多少

[根号x的定义域]

在实数范围内，平方根函数√x的定义域为x ≥ 0。当x为负数时，在实数域内没有定义，但在复数域中可以表示为虚数形式。

[实数解的具体表达]

1. 当x > 0时：
   √x表示x的正平方根。例如：

   • √9 = 3
   • √2 ≈ 1.4142
     此时方程x2 = a的解为±√a，但√a特指正根。

2. 当x = 0时：
   √0 = 0，这是唯一一个平方根与原值相等的数。

3. 当x < 0时（复数解）：
   若允许复数解，则√x = i√|x|，其中i是虚数单位（i2 = -1）。例如：

   • √(-4) = 2i
   • √(-1) = i

[关键数学性质]

1. 幂函数等价性：√x = x^(1/2)，满足指数运算规则。
2. 单调性：在x ≥ 0时，√x是严格递增函数。
3. 导数性质：导数为d/dx(√x) = 1/(2√x)（x > 0时）。
4. 积分性质：∫√x dx = (2/3)x^(3/2) + C。

[常见误区说明]

1. 根号符号的专指性：√x默认表示算术平方根（非负解），而非所有平方根。
2. 负号的位置：√(-x) ≠ -√x，前者为复数，后者在x > 0时为实数负值。
3. 运算顺序：√(a+b) ≠ √a + √b，平方根不满足线性分配律。

[应用示例]

1. 几何计算：正方形边长为√S（S为面积）。
2. 物理公式：自由落体时间t = √(2h/g)。
3. 统计学：标准差σ = √(Σ(x_i - μ)2/N)。

总结：根号x的结果需根据x的取值域区分讨论，实数域下要求x ≥ 0，复数域下可通过虚数单位i扩展定义。