5的算术平方根是多少

算术平方根的定义

算术平方根是指非负数中满足平方等于原数的正数解。对于正数5，其算术平方根是满足 $x^2 = 5$ 的正实数，记为 $\sqrt{5}$。

近似值的计算

1. 估算法：
   ∵ $2^2 = 4$，$3^2 = 9$，
   ∴ $\sqrt{5}$ 介于2和3之间。进一步细分：
   $2.2^2 = 4.84$，$2.3^2 = 5.29$，
   可见 $\sqrt{5}$ 约在2.2至2.3之间。

2. 牛顿迭代法：
   通过迭代公式 $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{5}{x_n} \right)$ 逼近精确值。
   例如，取初始值 $x_0 = 2$，迭代结果：

   • $x_1 = \frac{1}{2} (2 + 5/2) = 2.25$
   • $x_2 = \frac{1}{2} (2.25 + 5/2.25) ≈ 2.2361$
     最终收敛到约 2.2360679775（保留10位小数）。

3. 精确值：
   $\sqrt{5}$ 是无理数，无法表示为有限小数或分数，常用符号 $\sqrt{5}$ 或近似值2.236表示。

无理数性质的证明

假设 $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$（$p, q$ 为互质整数），则 $p^2 = 5q^2$。

• 左边 $p^2$ 含因数5，故 $p$ 必为5的倍数。
• 设 $p = 5k$，代入得 $25k^2 = 5q^2$，即 $q^2 = 5k^2$，同理 $q$ 也为5的倍数。
• 这与 $p, q$ 互质矛盾，故 $\sqrt{5}$ 是无理数。

应用示例

1. 黄金比例：
   黄金分割比 $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} ≈ 1.618$，广泛用于艺术和建筑。
2. 正五边形对角线与边长的关系：
   正五边形中，对角线与边长之比为 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

总结

5的算术平方根是 $\sqrt{5}$，其精确值无法用有限小数表示，近似值为 2.236，且已被严格证明为无理数。