求出正交变换矩阵后如何标准型

求出正交变换矩阵后，将其应用于原矩阵，可以得到原矩阵的标准型。具体步骤如下：

1. 求正交矩阵Q：你需要找到一个正交矩阵Q，使得QT AQ是原矩阵A的标准型。正交矩阵Q的列向量是原矩阵A的特征向量，且这些特征向量两两正交。

2. 计算QT AQ：将求得的正交矩阵Q与原矩阵A相乘，即计算QT AQ。

3. 得到标准型：计算结果QT AQ即为原矩阵A的标准型。

下面是具体的例子：

假设原矩阵A如下：

```

A = 2 1

1 2

```

我们需要找到A的特征值和特征向量。计算特征多项式：

```

det(A λI) = 2-λ 1

1 2-λ

= (2-λ)2 1

= λ2 4λ + 3

```

解这个方程，我们得到特征值λ1 = 1和λ2 = 3。

接下来，我们找到对应的特征向量。对于λ1 = 1，解方程组(A I)x = 0，得到特征向量v1 = (1, -1)T。对于λ2 = 3，解方程组(A 3I)x = 0，得到特征向量v2 = (1, 1)T。

由于特征向量v1和v2已经正交，我们只需要将它们单位化，得到正交矩阵Q的列向量：

```

v1' = (1/√2, -1/√2)T

v2' = (1/√2, 1/√2)T

```

所以，正交矩阵Q为：

```

Q = 1/√2 1/√2

-1/√2 1/√2

```

计算QT AQ：

```

QT AQ = 1/√2 1/√2 2 1 1/√2 1/√2

-1/√2 1/√2 1 2 -1/√2 1/√2

= 1 0

0 3

```

因此，原矩阵A的标准型为：

```

1 0

0 3

```

这样，我们就得到了原矩阵A的标准型。