为什么说常值函数既单调

常值函数，即形式为 $f(x) = c$ 的函数，其中 $c$ 是一个常数，其图像是一条平行于 $x$ 轴的直线。关于常值函数是否单调，可以从不同的角度进行分析。

常值函数的单调性定义

• 严格单调函数：如果对于定义域内的任意两个数 $x_1$ 和 $x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，总有 $f(x_1) < f(x_2)$ 或 $f(x_1) > f(x_2)$，则称该函数为严格单调函数。
• 非严格单调函数：如果对于定义域内的任意两个数 $x_1$ 和 $x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，总有 $f(x_1) \leq f(x_2)$ 或 $f(x_1) \geq f(x_2)$，则称该函数为非严格单调函数。

常值函数的单调性分析

常值函数 $f(x) = c$ 对于任意两个数 $x_1$ 和 $x_2$，都有 $f(x_1) = f(x_2)$。这意味着无论 $x_1$ 和 $x_2$ 的大小关系如何，函数值始终保持不变。

• 既是单调增加函数又是单调减小函数：由于常值函数的函数值不随 $x$ 的变化而变化，因此它同时满足单调增加和单调减小的条件。具体来说，对于任意 $x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) = f(x_2)$，这意味着函数既不是单调递增也不是单调递减，而是同时满足两者。

结论

综上所述，常值函数既是单调增加函数又是单调减小函数。这是因为常值函数的函数值不随自变量的变化而变化，始终保持不变。这种特性使得常值函数在数学分析中具有特殊的地位和意义。